[2015년 저현고]

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[2학년 2학기 중간 미적분2]

함수 [eqn: y=a ^{x-1} +b```(a>0,```a != 1)]의 그래프가 두 점 [eqn: (1,```3)], [eqn: (3,```11)]을 지날 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? [4.8점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} tanx]에 대하여 [eqn: f` prime (pi)]의 값은? [4.8점]

⑤

① [eqn: -e ^{pi}]	② [eqn: -pi]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: e ^{pi}]

[eqn: pi< alpha<{3} over {2} pi]이고 [eqn: cos` alpha =- {2} over {3}]일 때, [eqn: tan2 alpha]의 값은? [4.9점]

①

① [eqn: -4 sqrt {5}]	② [eqn: -3 sqrt {5}]	③ [eqn: - {sqrt {5}} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

삼각함수 사이의 관계에 관한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.9점]

⑤

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{9} sin ^{2} LEFT ( {n`pi} over {18} RIGHT ) =5]

ㄴ. [eqn: {sin` theta } over {1+cos``theta} + {1+cos`theta} over {sin`theta} =2`csc`theta]

ㄷ. [eqn: tan1 DEG timesCDOTS TIMES `tan`88` DEG ` TIMES `tan`89` DEG `=1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= root {3} of {2x-1}]에 대하여 [eqn: x=2]일 때, [eqn: {d ^{2}} over {dx ^{2}} f(x)]의 값은? [5.0점]

②

① [eqn: - {5} over {3 root {3} of {3 ^{2}}}]	② [eqn: - {8} over {27 root {3} of {3 ^{2}}}]	③ [eqn: -8 root {3} of {3 ^{2}}]

④ [eqn: {2} over {root {3} of {3}}]	⑤ [eqn: {2} over {3 root {3} of {3}}]

그림과 같이 □[eqn: rmOABC]는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형이고, 점 [eqn: rmO]는 원의 중심이다. [eqn: rmANGLE FOD`= theta]라고 할 때, [eqn: sqrt {csc ^{2} theta -1}]와 길이가 같은 선분은? (단, [eqn: 0 < theta < {pi} over {2}]) [5.0점]

⑤

① [eqn: bar{rmOG}]	② [eqn: bar{rmCG}]	③ [eqn: bar{rmDF}]

④ [eqn: bar{rmOD}]	⑤ [eqn: bar{rmAE}]

등식 [eqn: lim _{x-> 0} {{e ^{3x} -1} over {ln(1+ax)+b} =1}]을 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [5.0점]

④

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)=sinx+2cosx(0 < x <pi)]가 [eqn: x= alpha]에서 최대일 때,
[eqn: sec alpha]의 값은? [5.0점]

①

① [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: sqrt {5}]

두 함수 [eqn: x=e ^{2t} (t+sinpit)], [eqn: y= {lnx} over {x}]에 대하여 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dt}]의 값은? [5.0점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: {3} over {e ^{2}}]	③ [eqn: {pi} over {e ^{2}}]

④ [eqn: {pi`-3} over {e ^{2}}]	⑤ [eqn: {ln`3} over {e ^{2}}]

그림과 같이 제[eqn: 1]사분면에서 단위원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], [eqn: rmANGLE POH=2 theta]라 할 때, [eqn: rm ANGLE PQH= theta]를 만족시키는 [eqn: x]축 위의 점을 [eqn: rmQ]라고 하자. [eqn: rmTRIANGLE POH]의 넓이 [eqn: f(theta)], [eqn: rmTRIANGLE PQH]의 넓이 [eqn: g(theta)]에 대하여 극한값 [eqn: lim _{theta-> 0+} {{g(theta)} over {f(theta)}}]의 값은? [5.0점]

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

어떤 방사성 물질은 시간이 지남에 따라 일정한 비율로 붕괴된다고 한다. 질량이 [eqn: m]인 어떤 방사성 물질이 붕괴되기 시작하여 [eqn: t]년 후의 질량을 [eqn: f(t)]라 하면
[eqn: f(t)=m sqrt {p ^{t}}]
이 된다. 이 방사성 물질이 붕괴되기 시작하여 [eqn: 20]년 후의 질량이 [eqn: {1} over {2} m]이라 할 때, 이 방사성 물질이 붕괴되기 시작하여 [eqn: k]년 후의 질량이 [eqn: {1} over {16} m] 이하가 되도록 하는 [eqn: k]의 최솟값은? (단, [eqn: p]는 상수) [5.0점]

③

① [eqn: 60]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 100]

[eqn: f(k)=ln LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT )]에 대하여, [eqn: lim _{n-> INF } {10n LEFT ( ln {1} over {2} + sum _{k=n} ^{2n} f(k) RIGHT )}]의
값은? [5.1점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(sec` ^{2} x)`=cot`2x-csc`2x] [eqn: LEFT ( 0 < x < {pi} over {2} RIGHT )]
일 때, [eqn: f` prime (3)]의 값은? [5.1점]

④

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: ln`pi]

④ [eqn: - {sqrt {2}} over {4}]	⑤ [eqn: - sqrt {2} pi]

어떤 화학 반응에서 반응이 시작된 지 [eqn: t]초 후의 물질 [eqn: A]의 질량을 [eqn: x(rmg)]이라고 할 때,
[eqn: {x} over {5-x} =e ^{sin`pi`(t-2)}]
의 관계식이 성립한다고 한다. 반응이 시작된 지 [eqn: 2]초 후의 물질 [eqn: A]의 질량의 순간변화율은? [5.2점]

⑤

① [eqn: {1} over {2pi}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {15} over {4}]

④ [eqn: {4} over {5} pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 함수
[eqn: f _{n} (x)= sqrt {e ^{-x}} LEFT { (a _{n} -10)x+(b _{n} -10) RIGHT } (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]
이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킨다.

이때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값은? (단, [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}]은 상수) [5.3점]

(가) [eqn: f _{1} (x)=2015x sqrt {e ^{-x}}]
(나) [eqn: f _{n+1} (x)=f _{n} (x)+f _{n} prime (x)]

①

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

함수 [eqn: f(t)= sqrt {2 ^{tant} } LEFT ( - {pi} over {2}< t < {pi} over {2} RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g(t)]라 할 때,
[eqn: g` prime (2)]의 값은? [5.4점]

②

① [eqn: {sqrt {2}} over {ln2}]	② [eqn: {1} over {5ln2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {2} `ln2]	⑤ [eqn: 5ln2]

[eqn: {pi} over {2} LEQ x LEQ {3} over {2} pi]에서 [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: sin` ^{2} x+p`cos`x-q=0]
이 서로 다른 세 실근을 갖게 하는 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여,
[eqn: (p+2) ^{2} +(q-1) ^{2}]의 최솟값은? [5.5점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

서술형

둘레의 길이가 [eqn: 16]인 부채꼴에서 넓이가 최대일 때, 중심각의 크기를 구하시오. [4.0점]

[eqn: 2]

두 함수 [eqn: f(x)=a ^{x-2} +p], [eqn: g(x)=log _{a} (x-p)+2]의 두 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A'], [eqn: rmB']라 하자. [eqn: bar{rmAB} =6 sqrt {2}]이고 사각형 [eqn: rmAA prime BB prime]의 넓이가 [eqn: 30]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: p]에 대하여 [eqn: a ^{6} p]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>1], [eqn: p>0]) [5.0점]

[eqn: 7]

함수 [eqn: f(x)=` lim _{t-> x} {{t ^{lnt} -x ^{lnx}} over {t-x}} (t > 0)]에 대하여 각 물음에 답하시오. [총 5.0점]

(1) [eqn: 2]

(2) [eqn: 4overe]

(3) [eqn: { e} over {4 }]

(1) [eqn: f(e)]의 값을 구하시오. [1.0점]

(2) [eqn: f `prime (e)]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [2.0점]

(3) [eqn: (f ^{-1} ) prime (2)]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [2.0점]

[2015년 저현고]

[2학년 2학기 중간 미적분2]

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